Savicevic sinh ngày 15-09-1966 tại Podgorica, Liên bang Nam Tư (cũ), nay thuộc Serbia & Montenegro. Năng khiếu bóng đá của Savicevic bộc lộ rất sớm và ngay lập tức cậu bé lọt vào mắt xanh của những nhà săn lùng tài năng trẻ trên khắp đất nước. Sự nghiệp cầu thủ của Savicevic bắt đầu từ rất sớm khi ông mới bước sang tuổi 15 trong màu áo của đội trẻ OFK Titograd. Chỉ một năm sau, Savicevic được lên chơi ở giải hạng nhất Nam Tư trong màu áo CLB Budicnost Titograd.
Sau 6 năm khoác áo Budicnost và thể hiện một phong độ tuyệt vời, BLĐ của CLB Sao Đỏ Belgrade, CLB danh giá nhất liên bang Nam Tư ngày ấy, để ý và quyết định đưa bằng được ông về. Cũng trong năm đó, lần đầu tiên Savicevic được gọi vào ĐTQG trong trận dâu với Thổ Nhĩ Kỳ. Những ngày tại Sao Đỏ Belgrade là khoảng thời gian đẹp nhất trong sự nghiệp cầu thủ của Savicevic trên quê hương. Ông giúp Sao Đỏ Belgrade 3 lần liên tiếp VĐ Nam Tư (vào các năm 1990, 1991, 1992), 2 Cúp quốc gia (1990, 1992) cùng với chiếc Cúp C1 đầu tiên trong lịch sử CLB và Cúp Liên lục địa năm 1991.
Sau khi vượt qua nhà vô địch nước Pháp bằng loạt sút luân lưu trong trận chung kết, Sao Đỏ kế vị ngôi vua của Milan trên đấu trường châu Âu và Savicevic bắt đầu được các CLB lớn của châu Âu chú ý. Cuối cùng Berlusconi sau thời gian dài theo đuổi đã có được chữ ký của ông. Mùa Hè năm 1992, Savicevic chính thức được đưa về Milanello. Tại đây, Savicevic gặp lại những người đồng đội từng là đối thủ của ông tại Cúp C1 mùa giải 1989/1990, những người đã giúp Milan vượt qua Sao Đỏ Belgrade trong loạt sút luân lưu đầy may rủi.

Mùa bóng đầu tiên ở Savicevic không hề dễ dàng như ông nghĩ. Savicevic liên tục phải ngồi dự bị và ông chỉ được ra sân 10 lần trong mùa giải 1992/1993, tuy nhiên ông cũng kịp ghi 4 bàn thắng trong những lần hiếm hoi được ra sân, một con số không tồi của một tiền vệ. Mùa bóng đó, Milan vượt qua Porto để vào chung kết Champions League gặp Marseille (tuy nhiên, đó là trận chung kết mà tất cả các Rossoneri đều muốn quên).
Tuy nhiên, mùa bóng sau đó thực sự ngọt ngào với cả Milan lẫn Savicevic. Milan lần thứ 3 liên tiếp đoạt Scudetto, điều chưa từng xảy ra trong lịch sử CLB. Và mùa giải đó, Savicevic đưa Milan một lần nữa lọt vào trận chung kết Champions League gặp Barca của HLV Johan Cruyff. Trận chung kết Barca được đánh giá mạnh hơn nhưng Milan đã dạy cho những người TBN một bài học về bóng đá tấn công. Savicevic thực sự làm ngất ngây tất cả những người chứng kiến trận đấu bằng một phong độ chói sáng. Ông là người tạo cơ hội cho Massaro ghi bàn mở tỉ số bằng một pha đi bóng như chỗ không người bên cánh phải. Sau đó ông tự mình ghi bàn thắng thứ 3 trong chiến thắng 4-0 của Milan. Đó là một bàn thắng tuyệt vời từ khoảng cách khoảng 32 mét với một góc sút hẹp, vừa thể hiện sự tinh tế cũng như khả năng quan sát của ông. Đến ngay cả Cruyff cũng không khỏi thán phục bàn thắng này cho dù nó dập tắt mọi hy vọng của Barca. Một năm sau, Milan lần thứ 3 liên tiếp lọt vào trận chung kết Champions League nhưng đành chịu thất thủ trước Ajax Amsterdam.

Mối quan hệ giữa Capello và Savicevic không thực sự tốt và có phần gượng ép. Trong suốt sự nghiệp của mình, Capello không ưa những cầu thủ có lối chơi bay bướm, nhưng Savicevic là một ngoại lệ, dù không thích nhưng Capello vẫn phải chịu đựng vì có sự can thiệp của Berlusconi, người rất thích Savicevic. Tuy nhiên, mỗi khi có dịp là Capello sẵn sàng đẩy ông lên ghế dự bị.
Sau 2 mùa bóng liên tiếp thất bại cùng Milan, Savicevic trở lại Sao Đỏ Belgrade mùa giải 1998/1999. Một lần nữa ông đưa đội bóng này đến với chức vô địch quốc gia trước khi giã từ sân cỏ. Không còn nghi ngờ gì nữa, ông là một trong những cầu thủ hay nhất lịch sử bóng đá thế giới.
Sau khi kết thúc sự nghiệp cầu thủ với những thành công rực rỡ, Savicevic chuyển sang làm HLV. Tuy nhiên con đường huấn luyện của ông rất ngắn. Sau khi không thành công trên cương vị HLV trưởng của Serbia & Montenegro, Savicevic quyết định từ chức.
Cách đây vài tháng, Savicevic đã bị một tai nạn ô tô khi ông đang trên đường về nhà. Tuy nhiên mọi chuyện không quá nghiêm trọng và ông đã hoàn toàn bình phục sau thời gian ngắn điều trị.

Hiện nay, Savicevic trở về sống ở quê nhà và ông trở thành phó chủ tịch LĐBĐ Serbia & Montenegro. Sau những ngày tháng chiến tranh, giờ đây Serbia & Montenegro đang sống trong hoà bình. ĐTQG của của đất nước ông đã lọt vào VCK World Cup 2006 và đó là ước mơ cháy bỏng của Savicevic, sau những lần ông và đội tuyển Nam Tư (cũ) lỗi hẹn với ngày hội bóng đá lớn nhất hành tinh do chiến tranh và những cuộc nội chiến kéo dài. Chúc ông thành công trên cương vị mới